Et mitteparameetriline mudel hõlmab kõiki võimalike jaotusi, tuleb alustada kõikvõimalike jaotuste ruumi uurimisega. Sel ruumil on defineeritud sobiv meetrika (mis metriseerib jaotuste nõrga koondumise), seega ka topoloogia ja Boreli sigma-algebra. Järelikult saab sellel ruumil (Boreli sigma-algebral) omakorda defineerida tõenäosusmõõdu. Selline tõenäosusmõõt (jaotus jaotuste hulgal) on mitteparameetrilise statistilise mudeli oluline komponent, sest ta postuleerib meie arusaama kõne alla tulevatest jaotustest.
Enamlevinuim tõenäosusjaotus kõikvõimalike jaotuste hulgal on nn Dirichlet protsess (DP) (töö käigus saab ka selgeks, miks jaotust nimetatakse protsessiks). Selle protsessi/jaotuse peamiste omaduste (ja kui jõuab, ka) peamiste rakendustega tutvumine on lõputöö eesmärk. Selgub, et DPl on hulk märkimisväärseid omadusi, mis võimaldavad teda defineerida väga erineval moel. Peamised DP rakendused on seotud Bayesi lähenemisviisiga (protsess on eelmõõt). Klassikaline näide on nn "Dirichlet process mixture", mida kasutatakse grupeeritud vaatluste modelleerimisel. Huvitav rakendus on ka DP kui sünniprotsess evolutsioonimudelis.
Töö on valdavalt referatiivne, kuid üliõpilasel tuleb iseseisvalt tõestada üksikuid väiteid ning läbi viia illustratiivseid arvutisimulatsioone (nn Hiina restorani protsess ja muu). Kontakt: Jüri Lember juri.lember [ät] ut.ee
Hiljutises artiklis https://arxiv.org/pdf/1902.06694.pdf on Alberto Facchini ja Carmelo Finocchiaro defineerinud täpsed jadad täiesti erinevas olukorras -- eeljärjestatud hulkade (preordered set) kategoorias. Eeljärjestatud hulk on hulk koos mingi refleksiivse ja transitiivse binaarse seosega. Tekib loomulik küsimus: kas on võimalik arendada homoloogilist algebrat järjestatud hulkade jaoks? Näiteks võib proovida teha uurimistööd järgmistes suundades.
a) Proovida tõestada eeljärjestatud hulkade kategoorias niinimetatud diagrammlemmasid teatud kommutatiivsete diagrammide kohta (Four Lemma, Short Five lemma, Snake Lemma, Nine Lemma).
b) Proovida üldistada eelmainitud artikli tulemusi eeljärjestatud universaalalgebratele. Viimased on sellised universaalagebrad koos mingi eeljärjestusega, et kõik tehted on monotoonsed (s.t. kooskõlas eeljärjestusega).
Eeliseks on Kompleksmuutuja funktsioonide teooria kursuse läbimine, eriti kui uurida just analüütiliste funktsioonide või analüütiliste teisendite juhtu (mõned küsimused selles suunas olid esitatud ka selle kursuse lisaülesannetena).
Analoogilisi küsimusi võib esitada ka funktsiooni Taylori, Fourier' ja Laurent'i rea kohta, s.t. uurida, kuidas on vastava rea kordajate nullile lähenemise kiirus seotud funktsiooni siledusega.
Parima lähenduse polünoomi pole üldiselt võimalik reaalselt arvutada. Töös uurime, kas sarnased tulemused on võimalik saada ka interpolatsioonipolünoomiga lähendades, nii tavaliste polünoomide kui ka trigonomeetriliste polünoomidega lähendamisel. Samuti võib vaadelda juhtu, kus me tahame funktsiooni lähendada mingis suuremas piirkonnas, kuid interpolatsioonisõlmed saame mingil põhjusel paigutada ainult etteantud lõigule. Tulemused on kasutatavad mitmete arvutusmeetodite koonduvuskiiruse leidmisel, kui on teada et (diferentsiaal- või integraal- või integro-diferentsiaal- vms.) võrrandi lahend on mingis piirkonnas analüütiline.
Töö sobib tudengile, kes võtab Kompleksmuutuja funktsioonide teooria kursust.
Kompleksmuutuja funktsioonide teooria on väga kasulik vahend erinevates matemaatika valdkondades. Kuid näiteks kolmemõõtmelises ruumis tegutsemiseks jääb sellest väheks. Plaanitava töö eesmärgiks oleks uurida, kui palju kompleksmuutuja funktsioonide teooriast on ülekantav kvaternioonmuutuja funktsioonidele, näiteks kuidas võiks defineerida regulaarsed funktsioonid, milline on Cauchy teoreemi analoog, mis on Taylori ja Laurent'i ridade analoogid jne. Kuna korrutamine pole kommutatiivne, siis on paljudel tulemustel kaks analoogi, näiteks regulaarsus vasakult ja regulaarsus paremalt on erinevad mõisted.
Töö sobib tudengile, kes võtab Kompleksmuutuja funktsioonide teooria kursust. Töö edasiseks perspektiiviks võiks olla kvaternioonide rakendamine elektromagnetismi võrrandite (Maxwelli võrrandite) uurimisel.
15. Kuupvastavusseadus, juhendaja Lauri Tart.
16. abc hüpotees, juhendaja Lauri Tart.
17. Lõplikud J-triviaalsed poolrühmad, juhendaja Lauri Tart.
Bakalaureusetöö toetub T.S. Blythi raamatule „Lattices and Ordered Algebraic Structures“ (Springer, 2005), mis omakorda toetub artiklile „On ordered completely simple semigroups“ (T.S. Blyth, G.A. Pinto, Comm. Algebra 29(8), 2001, 3477-3494).
Töö eesmärgiks on uurida, millist abiinfot on võimalik kasutada hõive ja töötuse näitajate hinnangute täpsuse tõstmiseks ning testida erinevaid väikese osakogumi hindamise meetodeid kasutades Monte Carlo simuleerimist. Hinnatavad osakogumid Tallinnas, Tartus ja Narvas: • Tööjõud soo ning vanuserühmade 20-64 ja 55-64 järgi • Töötud soo järgi • Hõivatud soo ning vanuserühmade 20-64 ja 55-64 järgi Teema eeldab valikuuringute teooria ja regressioonanalüüsi tundmist.
Alusandmestik: Haigekassa raviarved. Tööks on vajalik konfidentsiaalsuslepe.
Alusandmestik: TEHIK epikriiside andmestik. Tööks on vajalik konfidentsiaalsuslepe.
Töö eesmärgiks on hinnata epikriiside andmestiku katvust, kõrvutadest selle põhjal leitud koodnstatistikuid teiste allikatega (Haigekassa ja TAI)
Kohalduvad valimid on kasutusel mitmetes loodusteaduste valdkondades nagu geoloogia, kalandus ja ka meditsiiniteadustes. Näiteks kullamaagi otsingutel püütakse hinnata maagi kogust teatud alal. Selleks võetakse valim geograafilistest punktidest, kulla leidmisel aga tasuks leiukoha ümbrus samuti valimisse kaasta, et kulla kogust paremini hinnata.
Tudengi ülesandeks oleks anda ülevaade kohalduva valimi meetodist ja võrrelda antud meetodit traditsiooniliste valikumeetoditega, näiteks simulatsioonidega. Aluseks oleks raamat Steven K. Thompson, George A. F. Seber "Adaptive Sampling".
*) keskkonna ja genotüübi interaktsiooni uurimine baseeruvana samade pullide tütarde jõudlus-, sigivus- ja elumusandmetel erinevat farmides, või
*) sigade viljakuse ja seda mõjutavate tegurite uurimine.
26. Hargmaiste Eesti elanike arvu hindamine, juhendaja Ene-Margit Tiit.
Märksõnad: (varjatud) Markovi ahel; Bayes’i lähenemisviis; Dirichlet’ jaotus; EM-algoritm; Viterbi algoritm, edasi-tagasi algoritm
Müokardiinfarkti patsientide ravi võib olla konservatiivne-medikamentoosne või invasiivne. Selgitamist vajab, kui suured on erinevused erineva ravistrateegiaga patsientide suremuses. Töö sobib nii bakalaureuse kui ka magistritööks, eeldab kannatlikkust ja pühendumust töötamaks kohati aukliku ja teema sisulist mõistmist eeldava andmebaasiga ning pakub lisaks ühemõõtmelistele analüüsidele võimalusi ka mitmete mitmemõõtmelise statistika (masinõppe) algoritmide rakendamiseks (viimast eelkõige magistritöö tasemel).
Konkreetse töö ülesandeks on tutvuda nn lähima naabri metoodikaga (nearest-neighbour-estimation) ja lähima naabri graafidega, kui ühe võimalusega leidmaks, kuidas geenidoonori verest määratud markerite profiil (NMR metaboloomika andmed) haigust ennustab. Seda meetodit tuleks võrrelda mõningate teiste alternatiividega, nii sammregressiooniga kui näiteks juhusliku metsa (random forest) metoodikaga, saamaks selgust, millised on ühe või teise meetodi eelised ja puudused antud ülesande lahendamisel.
It turns out that main segmentation algorithms (Viterbi, PMAP) can be applied for PMM’s, because they solely relay on Markov property of (X,Y). Therefore, from a segmentation point of view, there is no restriction to use PMM’s instead of HMM’s. The student: • Gets familiar with HMM and PMM models • Gives the classification of PMM models and the sufficient conditions fo Y being Markov chain. • Studies Viterbi, PMAP and hybrid algorithms for HMM’s and generalizes them for PMM’s. • Implements these algorithms for linear Markov switching models. • Investigates the effect of PMM (correlated noise) in segmentation. Does the increase of dependence between the observations decrease the difference between PMAP and Viterbi paths.
References 1. A. Koloydenko, J. Lember, Bridging Viterbi and posterior decoding: A generalized risk approach to hidden path inference based on hidden Markov models, Journal of Machine Learning Research, 15, (2014), 1–58. 2. S. Derrode, W. Piecynski, Signal and image segmentation using pairwise Markov chains, IEEE Trans. Signal Process. 52 (9) (2004) 2477–2489. 3. W. Pieczynski, Pairwise Markov chains, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 25 (5) (2003) 634–639. 4. I. Gorynin, H. Gangloff, E. Monfrini, W. Pieczynski, Assessing the segmentation performance of pairwise and triplet Markov models, Signal Process. 145 (2018) 183–192. 5. J. Hamilton, A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle, Econometrica (1989) 357–384. 6. J. Hamilton, Analysis of time series subject to changes in regime, J. Econometrics 45 (1–2) (1990) 39–70. 7. J. Hamilton, Regime switching models, in: Macroeconometrics and Time Series Analysis, Springer, (2010), 202–209. 8. J. Lember, J.Sova, Existence of infinite Viterbi path for pairwise Markov model, Stochastic Processes and their Applications (to appear) 9. J. Lember, Introduction to statistical learning theory (lecture notes), 2012 10. A. Koloydenko, K. Kuljus, J. Lember, Theory of segmentation, In: Hidden Markov Models, INTECH (2011) 11. L. Rabiner, A tutorial on Hidden Markov Models and selected applications in speech recognition, Proc. IEEE (1989), 1-58
Parema kasutuskogemuse tagamiseks kasutame küpsiseid. TÜ välisveeb ei töötle ega kogu isikuandmeid. Välisveeb kasutab FB Pixeli ja Google Analyticsi teenust. Loe lähemalt andmekaitsetingimustest.