Lõputööde teemad

Lõputeemade seminarid 2022/2023:

matemaatika: 22. septembril kell 14.15 ruumis 1018

matemaatiline statistika: 27. septembril kell 14.15 ruumis 1007

Teemad 2022/23

Matemaatika

Ühe olulise alamklassi kõigi Banachi ruumide klassis moodustavad Banachi võred.  Aastal 2018 tõid matemaatikud Aviles, Rodriguez ja Tradacete sisse vaba Banachi võre mõiste ehk Banachi võred, mis on tekitatud kindlal viisil juba olemasolevast Banachi ruumist (vt https://zbmath.org/?q=an%3A1400.46015). Pärast selle artikli ilmumist on järjest enam püütud mõista, milliseid (geomeetrilisi) omadusi vabad Banachi võred omavad (vt https://zbmath.org/?q=an%3A1458.46009). Hea sissejuhatuse teemasse saab siis, kui järelkuulata esinemist funktsionaalanalüüsi seminaris:https://onedrive.live.com/?authkey=%21AMldNRnNBoCShwc&cid=F0220D77D53D25...

Lõputöö peamiseks eesmärgiks on anda ülevaade vaba Banachi võre konstrueerimisest. Töö on valdavalt referatiivne, kuid kuna sel teemal on mitu lahtist küsimust, siis soovi korral saab ka proovida teha uurimistööd ja hea õnne korral saada uusi teadustulemusi. Seega teema sobib bakalaureusetööks, aga on kergesti jätkatav ka magistritööks. Mitme huvilise korral on Banachi ruumide geomeetriast veel sarnaseid teemasid välja pakkuda.

Kontakt: Johann Langemets johann.langemets@ut.ee 

Funktsionaalanalüüsi uurimisrühma veebileht on leitav siit: Functional Analysis in Tartu (google.com)

Kvantarvuti algoritmide uurimine ja simuleerimine klassikalise arvutiga; algoritmide leidmine füüsikaliste protsesside kirjeldamiseks (näiteks kvant-uitliikumine). Töö jaoks on soovitatav elementaarse kvantmehaanika tundmine.

Analüütilisest mehaanikast tuntud Hamiltoni dünaamika abil teostatud Markovi ahela Monte Carlo meetodi tundmaõppimine ja rakendamine osakestefüüsika mudelite uurimisel (füüsikalise parameetrite ruumi leidmine).

O(N) sümmeetriaga stohhastiliste skalaarväljade uurimine: välja väärtuste jaotusfunktsiooni ja korrelatsioonifunktsioonide leidmine. (Matemaatika hõlmab Langevini võrrandit. Teemat rakendatakse kosmilise inflatsiooni uurimisel.)

Kompaktsete tähtede (näiteks neutrontähtede) uurimine numbriliselt või analüütiliselt. Ekstremaalsete olukordade omaduste kirjeldamine, teoreemide tõestamine. (Matemaatiliselt seisneb probleem 1. järku kolme muutuja harilike diferentsiaalvõrrandite lahendamises või uurimises.)

Kolme keha probleemi numbriline uurimine: vaadelda kolme keha probleemi erinevaid algtingimusi ja lõppolekuid, milleni nad viivad; antud algolekute statistilise jaotuse korral anda lõppolekute statistiline jaotus (rakendatakse näiteks paaris mustade aukude tekke uurimisel). Eeldab programmeerimisoskust.

Kvantväljateooria eesmärk on osakeste klassifitseerimine ja nende vastastikmõjude kirjeldamine. Aastakümneid on osakesi seostatud lineaarsete liikumisvõrrandite lainesarnaste lahenditega, kuna vastastikmõjud tuuakse sisse algse täpselt lahenduva lineaarse ülesande mittelineaarsete häiritustena. Peamiselt tänu Polyakovi ja t'Hoofti töödele tehti jahmatav avastus, et see lähenemine jätab kahe silma vahele terve hulga lahendeid, mis käituvad sarnaselt osakestele ja mille dünaamika on keeruline ja põnev. Sõltuvalt üksikasjadest nimetatakse neid lahendeid veidi ulmelise kõlaga monopoolideks, instantonideks, kühmudeks, keeristeks, solitonideks, ussiaukudeks… Neid uusi lahendeid stabiliseerib topoloogiliste laengute jäävus ja nende klassifitseerimiseks ja kirjeldamiseks kasutatakse topoloogia mõisteid nagu homotoopiaklassid. Töö eesmärk on uurida tuntud mudeleid 2, 3 ja 4 mõõtmes ning nende seoseid topoloogiliste meetoditega. Meetodite kohta, eriti, mis puudutab "füüsiku vaadet" topoloogiale, vt. E. J. Weinberg, "Classical solutions in quantum field theory".

Hamiltoni printsiip võrdleb mehhaanilise süsteemi tegelikku trajektoori kinemaatiliselt võimalike trajektooridega. Selle printsiibi kohaselt on tegelik trajektoor niisugune, mille korral integraal mõjufunktsioonist omandab minimaalse väärtuse. Osutub, et võttes aluseks selle printsiibi võime tuletada kõik mehaanika põhitulemused.

Kirjandus:

  1. Ü. Lepik, L. Roots, Teoreetiline mehhaanika. Tln, 1971.
  2. J. Lellep, Süsteemide optimeerimine.Trt, 2013
  3. H. Goldstein, Classical Mechanics. CUP, 2007
  4. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Physics. 2012.

Töö eesmärk on proovida leida uusi algebralisi baaskonstruktsioone postkvant-krüptoalgoritmide ehitamiseks (hetkel on olemas ligikaudu 4-5 n-ö peavoolutehnikat). Töö üks võimalikke lähtekohti (mõned potentsiaalsed kandidaadid selliste baaskonstruktsioonide jaoks) on artikkel https://eprint.iacr.org/2022/1161.pdf

Sissejuhatus finantsmatemaatikasse kursusel vaadeldakse vanillaoptsioonide (Euroopa ja Ameerika optsioonid) hindamist juhul kui optsiooni alusvara korral ei maksta dividende. Bakalaureusetöös vaadeldakse vanillaoptsioonide hindamist dividendide maksmise korral. Töös on kavas vaadelda erinevaid dividendide maksmise viise (pidevad, diskreetsed dividendid) ning kirjanduses väljapakutud meetodeid optsiooni hinna leidmiseks nendel juhtudel. Kavas on läbi viia numbrilisi eksperimente. 

Association schemes are an important tool in algebraic design and coding theory. A block design is a collection of subsets of size k of a set of size v (called blocks), with the property that every two distinct points are contained in a constant number l of blocks. In this research problem, we first translate the defining design properties to properties of the incidence matrix of the design, and use this to build a 3-dimensional matrix algebra. Then we use decomposition techniques to find a nonnegative semidefinite matrix in this algebra. Finally, we use the properties of such matrices, namely that principal minors are nonnegative, to derive inequalities for the design-parameters. The inequalities that are obtained from minors of size 1 and 2 are known. In these cases, it is possible to bring these inequalities in a special, nice form. The problem is to investigate the inequalities obtained from higher-order minors, and to see if they can be given similar nice forms. The techniques that are used generalize to so-called (Q-polynomial) association schemes, algebraic constructions invented specially to study certain regular combinatorial structures. Some background study into semidefinite matrices and association schemes is possible, and extensions to association schemes and possible other applications can be considered, if there is enough time.

Some background in combinatorics and/or coding theory would help but is not required. For a master-level thesis some knowledge of linear algebra and algebraic structures (groups, rings) is probably needed.

Binary PIR and batch codes both encode blocks of data bits into code words and both facilitate the recovery from a code word of multiple data bits simultaneously, by inspecting disjoint parts of the code word. PIR codes are designed to handle multiple requests for the same data bit, while batch codes can handle requests for arbitrary sequences of data bits. t-PIR codes have applications for example in Private Information Retrieval (PIR), where they allow to reduce the storage overhead in t-server PIR schemes by emulating the t servers. Batch codes are employed for example in network switches for load-balancing purposes. Typically, problems on PIR and batch codes need techniques from combinatorics, linear algebra, and coding theory. The field is relatively new, so there are lots of interesting questions to work on, and there are also opportunities to write smart software for explorative purposes, or to survey parts of the literature. Research problems concern for example the understanding of the known examples of such codes and using these insights to generalize known examples or to investigate variants of these codes for scenarios where some parts of the data are in higher demand than other parts. For non-binary or for nonlinear PIR or batch codes, not much, respectively almost nothing is known.

Some background in combinatorics and/or coding theory would be helpful but is not required.

Kui hulgateoorias loetakse hulgad sarnasteks (ekvivalentseteks), kui nende vahel on olemas bijektsioon, siis topoloogiaga varustatud hulkade ehk topoloogiliste ruumide korral nõutakse hulkade sarnaseks (homöomorfseteks) lugemisel sellelt bijektsioonilt veel lisaks, et nii bijektsioon kui ka tema pöördkujutus oleksid pidevad.

Käesoleva bakalaureusetöö eesmärgiks on homomorfismi defineerimiseks vajalike topoloogia mõistetega tutvumine ning homöomorfismi kasutamine kolmemõõtmeliste objektide võrdlemisel. Näiteks on klassikaline topoloogias tuntud homomorfismi näide see, et topoloogi jaoks ei ole vahet sõõrikul/tooril ja kohvitassil. Töö käigus tulekski esmalt sellest näitest arusaamisest alustada ning selle abil uurida teisi üllatavaid kolmemõõtmeliste kehade paare, mis osutuvad homöomorfseteks (näiteks kringel ja kahe lõõriga korsten).

Töö kirjutamisel on soovitatav kuulata kursust „Üldine topoloogia“, kuid on võimalik vajalik teoreetiline materjal endale ka õpikute ja juhendajate soovituste põhjal iseseisvalt selgeks teha.

Positiivset täisarvu nimetatakse τ-arvuks, kui arvu  positiivsete jagajate arv τ() jagab arvu . Näiteks on τ-arvuks arv 8, sest arvu 8 positiivsed jagajad on 1, 2, 4 ja 8 (kokku 4 erinevat jagajat) ning on lihtne näha, et arv 4= τ() jagab arvu 8.
Positiivset täisarvu nimetatakse τ-arvuks täisarvuliste kordajatega polünoomi Q(x) suhtes, kui arvu  positiivsete jagajate arv τ() jagab polünoomi Q(x) väärtust kohal n, s.t., kui arv τ() jagab arvu Q(). Näiteks on arv 3 τ-arvuks polünoomi Q(x)=x2 -1 suhtes, sest 2= τ() jagab arvu 8=Q(3).
Kui τ-arvude kohta on alates aastast 1990 ilmunud mitmeid teadusartikleid ning neid võib matemaatikute seas juba üsna „tuntuteks“ pidada, siis τ-arvud polünoomide suhtes defineeriti alles aastal 2002 ning nende kohta ei ole senini eriti palju artikleid ilmunud (juhendajad oskavad lisaks 2002. aastal ilmunud artiklile välja tuua veel vaid ühe 2014. aastal Tallinna Ülikoolis kaitstud magistritöö, kus seda teemat on definitsiooni tasemel käsitletud).
Käesoleva bakalaureusetöö eesmärgiks on esmalt veidi tutvuda τ-arvu mõistega ning seejärel tegeleda τ-arvudega polünoomide suhtes, pannes kirja nende põhiomadused ning tuletades uusi omadusi. Töö kirjutamine eeldab huvi olemasolu arvuteooria ja polünoomide vastu. Et valdkond on seni üsna vähe arenenud, siis on siin palju võimalusi edaspidiseks uurimistööks magistriõppes või isegi doktoriõppes.

Kui G on abeli rühm ning A ja B selle alamhulgad, siis nende summahulk on A+B=\{a+b|a\in A, b\in B\}. Kui väike saaks selline summahulk olla? Üks esimesi aditiivse kombinatoorika tulemusi on Cauchy ja Davenporti teoreem, mis ütleb, et G=Z_p korral, kus p on algarv, kehtib |A+B|\ge\min\{|A|+|B|-1,p\}. Intuitsioon on, et tsüklilises algarvulist järku rühmas ei ole mittetriviaalseid alamrühmi, mille abil korrapäraste A ja B puhul võiks summahulk olla väiksem. (Analoogne väide kehtib, kui A ja B on reaalarvude lõplikud hulgad.) Sellel teoreemil on olemas otsene tõestus, aga ka tõestus läbi kombinatoorse nullkohalemma (Combinatorial Nullstellensatz, Alon, 2000).
Tähistagu GF(2) kaheelemendilist korpust. Nimetame 0-1-vektori kaaluks tema ühtede arvu. Aastal 2021 tõestasime (On some batch code properties of the simplex code, Hollmann, Khathuria, Riet, Skachek), et suvalise vektorruumi GF(2)^k paaritu kaaluga vektoritest koosneva jada korral pikkusega 2^{k-1} (millest mõned vektorid võivad olla võrdsed, st vektorite multihulga või jada korral), mille summa on nullvektor, saab kõik vektorruumi GF(2)^k vektorid tükeldada paaridesse, nii et paaride summad oleksid parajasti need 2^{k-1} jadas (multihulgas) antud vektorit. Funktsionaalsete partiikoodide hüpotees ütleb, et väide kehtib ka ilma paaritut kaalu eeldamata.
Siin abeli rühmaks on Z_2^k, mille iga elemendi järk on 2, seega – on nagu +. Seda hüpoteesi võiks abeli rühmadele üldistada järgmisel kujul: olgu G lõplik abeli rühm, olgu r_1,…,r_k tema antud elementide jada, kus 2k+1\le|G|, siis leiduvad erinevad G elemendid x_1,…,x_k,y_1,…,y_k, nii et r_i=y_i-x_i iga i korral. Tõestasimegi selle hüpoteesi juhul G=Z_p, kasutades kombinatoorset nullkohalemmat.
Bakalaureusetöö tutvuks aditiivse kombinatoorikaga, nullkohalemmaga, kirjeldaks neid hüpoteese ja seotud Snevily hüpoteesi (nüüdseks teoreem). Arvatavasti oleks bakalaureusetöö referatiivne, aga võimalik on püüda ka jõuda lähemale funktsionaalsete partiikoodide hüpoteesile.

Ramsey teooria on kombinatoorika ja loogika haru, mille reklaamlauseks on, et kuitahes palju korrapära jaoks leidub piisavas koguses korratust, mille sees selline korrapära on. Näiteks teame, et kui oodata piisavalt kaua, siis kirjutusmasinaga ahv mingil hetkel kirjutab järjest Shakespeare’i kogutud teosed.
Kui peol on kuus inimest, siis leidub neist kolm, kes kõik üksteist tunnevad või kolm, kellest keegi kedagi teist ei tunne (ürita tõestada!), aga viie inimesega hulgal sellist omadust ei ole. Teisisõnu: värvides 6-tipulise täisgraafi servad kahe värviga, leidub ühevärviline kolmnurk. Seda väidet kirjutatakse kujul R(3,3)=6 ja öeldakse, et (diagonaalne) Ramsey arv 3,3 on võrdne 6-ga. Ramsey teoreem ütleb, et iga k ja l korral leidub R(k,l). Seotud väited ütlevad aga ka palju enamat. Selliseid väiteid uurib ja püüab tõestada kombinatoorne Ramsey teooria.
Aastal 2020 kasutas Ashwin Sah pseudojuhuslikkuse meetodit, et tõestada diagonaalsetele Ramsey arvudele uue ülemise tõkke. Samuti aastal 2020 kasutasid Conlon ja Ferber lineaaralgebralist meetodit koos Erdos’i leiutatud tõenäosusliku meetodiga, et anda mitmevärvi diagonaalsetele Ramsey arvudele uued alumised tõkked, kui värvide arv on vähemalt 3.
Arvatavasti referatiivse bakalaureusetöö teemaks oleks uurida neid tõestusi. Selle käigus on võimalik tutvuda tõenäosusliku ja lineaaralgebralise meetodiga kombinatoorikas.
Võimalik oleks ka vaadelda Erdos’i ja Kakutani samaväärset tingimust kontiinumi hüpoteesile ehk lineaarvõrrandi lahendite olemasolu samas värviklassis, tükeldusregulaarsust ja seonduvaid tulemusi.

35. Esimest liiki integraalvõrrandi numbriline lahendamine kollokatsioonimeetodiga (juhendaja U. Hämarik ja/või U. Kangro)

36. Landweberi iteratsioonimeetodi kiirendamine (juhendaja U. Hämarik ja/või T. Raus)

37. Regulariseerimisparameetri heuristilisest valikust Tihhonovi meetodis (juhendaja U. Hämarik ja/või T. Raus)

Funktsionaalanalüüsi uurimisrühma veebileht on leitav siit: Functional Analysis in Tartu (google.com)

39. Uurimistöö funktsionaalanalüüsi uurimisrühma aktiivselt suunalt Banachi ruumide geomeetriast.

a) Diameeter-2 omaduste teema.

b) Lipschitzi-vabade ruumide teema.

c) Normi saavutavate operaatorite teema.

40. Referatiivne töö matemaatilise analüüsi valdkonnas

Punktivabas lähenemises topoloogiale unustatakse ruumi punktid, ning vaadatakse ainult ruumi topoloogiat, ehk siis struktuuri, mis kirjeldab, kuidas punktid kokku sobituvad. Teemaks oleks uurida punktivaba reaaljoont, ning tõestada punktivabas kontekstis elementaarseid tulemusi, mis analüüsist tavalise reaaljoone kohta teada.

 

Motivatsiooniks on see, et konstruktiivses matemaatikas töötab punktivaba lähenemine tihtipeale paremini, kui klassikaline lähenemine.

 

Näiteks, analüüsist on teada tulemus, et kui funktsioon [-1,1] -> R on pidev ning f(-1) < 0 < f(1), siis hulk f⁻¹(0) on mittetühi. Konstruktiivses matemaatikas see tõestatav ei ole, kuid on võimalik näidata, et iga ε > 0 korral on f⁻¹(-ε,ε) mittetühi. Punktivabas kontekstis peaks olema võimalik konstruktiivselt näidata, et f⁻¹(0) on mittetriviaalne, kuigi see võib punkte mitte omada.

 

Siin teema juures on huvi korral võimalus tulemused formaliseerida arvutiga tõestusassistendis konstruktiivses loogikas. See aitaks veenduda, et tulemused on tõepoolest konstruktiivselt tõestatavad, ning lisaks oleks see hea põhjus ennast tuttavaks teha tõestusassistentide kasutamisega üldisemalt.

 

Vaatame järgmist olukorda. Olgu U on vektorruumi X alamruum ning olgu

p: X -> U

vektorruumi X projektsioon alamruumile U. Siis saame vaadata lineaarse kujutuse p tuuma K.

Teades vektorruume U ja K, on võimalik taastada (isomorfismi täpsuseni) ruum X otsesummana U ⨁ K.

Muude algebraliste struktuuride, näiteks rühmade, korral, lihtsalt U ja K teadmisest ei piisa X taastamiseks. Läheb tarvis teatud lisainfot, mis annab U ja K vahelise seose.

Seega, üldisemas kontekstis, kui on antud U, K ning lisainfo, on X taastatav konstruktsiooniga K ⋊ U, mida kutsutakse U ja K poolotsekorrutiseks (lisainfo suhtes).

Oleme olnud ähmased, mis see üldisem kontekst on, kuna selline poolotsekorrutise konstruktsioon töötab mitmete erinevate matemaatiliste struktuuride jaoks.

Näiteks, kui X on topoloogiline ruum lahtise alamruumiga U ning kinnise alamruumiga K, mis on U täieldiks, on võimalik X taastada teades ruume U, K, ning teatud lisainfot. (See konstruktsioon on mõningati loomulikum, kui ruumide punktid unustada, ning töötada punktivabade ruumide tasemel: https://math.unice.fr/tacl/assets/2019/contributed/s3/1/1-faul-manuell…).

Selles valdkonnas on mitmeid teemasid, mida võiks uurida, kas referatiivselt, või iseseisvalt. Konkreetsuse mõttes toome välja järgmised teemad.

a) Vaadata poolotsekorrutisi konkreetsemalt mingite struktuuride jaoks, mille võib välja pakkuda juhendaja, või võib valida juhendatav.

a') Näiteks poolotsekorrutised monoidide Schreieri teooria kontekstis: https://arxiv.org/pdf/2102.12934.pdf

b) Vaadata poolotsekorrutise omadusi, näiteks nende universaalomadust.

c) Vaadata poolotsekorrutisi üldisemas kategooriateoreetilises kontekstis.

c') Näiteks võib vaadata juhtu, kus U ja K on eri tüüpi struktuurid. Rühma ning poolvõre poolotsekorrutis on näiteks teatud omadustega poolrühm.

d) Võib vaadata ka kategooriate poolotsekorrutisi. See on loomulik kontekst, kus poolotsekorrutamise funktor elab.

Kumerusruum on hulk koos elementide kumera kombinatsiooni võtmise operatsiooniga.

https://arxiv.org/pdf/0903.5522.pdf

Näiteks, Banachi ruumi kinnine ühikkera on kumerusruum, kus iga λ∈[0,1] korral on antud operatsioon, mis võtab elementide x ja y kumera kombinatsiooni

λx + (1-λ)y .

Teemana võiks esmalt uurida kumerusruume ning kumerusruumide kategooria omadusi.

Seejärel võiks vaadata kumerusruumide seoseid teiste struktuuridega. Näiteks, kumerusruumide teooriat võib vaadata teatud täpses mõttes Banachi ruumide teooria algebralise varjuna, mille tagajärjena on olemas kanooniline viis, kuidas konstrueerida kumerusruumist Banachi ruum.

Kaugemaks eesmärgiks võiks näiteks olla vaadata kumerusruumide seost lokaalselt kumerate topoloogiliste vektorruumidega. Topoloogiliste vektorruumide teoorias on ilma lokaalselt kumeruseta raske klassikalisi tulemusi tõestada. Võiks arvata, et teatud abstraktsest vaatenurgast on kumerus topoloogiliste vektorruumide juures oluline seetõttu, et kumerusruumide teooria on algebraline, ning seega hästikäituv.

Kui on antud punktid x ja y mingis (meetrilises, topoloogilises, vms.) ruumis X, nimetatakse pidevat kujutust

α: [0,1] -> X

liiniks punktist x punkti y, kui α(0) = x ja α(1) = y.

Kui α on liin punktist x punkti y, võime kirjutada α: x -> y.

Kui X on tasand, siis liin punktist x punkti y on lihtsalt tasandile joonistatud kõverjoon, mille alguspunkt on x ja lõpp-punkt on y. Kõige lihtsam liini näide on kujutus [0,1] -> X, mis on konstantne kujutus punktile x. See on liin punktist x punkti x.

Liinide α: x -> y ja β: y -> z korral tahaks liinid punkti y pidi kokku kleepida, et saada liin x -> z. Küsimus on aga selles, kuidas defineerida sellele liinile vastav kujutus

[0,1] -> X

kasutades kujutusi

α: [0,1] -> X ja β: [0,1] -> X .

Üks viis sellele probleemile läheneda, on lisada liinide kleepimise operatsioonile lisaargument, mis ütleb, kuidas kleepimise operatsiooni läbi viia.

Lisaargumendiks oleks kaks intervalli [0,1] alamintervalli [u,u'] ja [v,v'], kus u' < v, mistõttu on need alamintervallid lõikumatud.

Nüüd saame defineerida kujutuse

[0,1] -> X

mis intervalli [u,u'] peal käitub nagu α (intervallile [u,u'] kokku surutult), intervalli [v,v'] peal käitub nagu β (kokku surutult), ning mujal on konstantne. Võib veenduda, et defineeritud kujutus annab tõepoolest liini x -> z.

Suvalise N korral võib vaadata intervalli [0,1] paigutatud N paarikaupa lõikumatu intervalli süsteemi, mis annab viisi N järestikuse liini korrutamiseks.

Sellised alamintervallide süsteemid moodustavad algebralise struktuuri, mida nimetatakse operaadiks. Antud operaadi nimeks on väikeste intervallide operaad.

Teemaks oleks vaadata ka teatud analoogilisi olukordi, kus operaadide abil saab korrutada liinidele sarnaseid objekte.

Mitmete lõplike struktuuride (näiteks lõplike graafide) puhul annab meile struktuuri kohta informatsiooni see, kui vaatame, kuidas on võimalik seda struktuuri lihtsamateks struktuurideks lahutada.

Üldjuhul on meil sellisteks lahutusteks palju viise. Näiteks naturaalarvu N saab  esitada väiksemate arvude M, K korrutisena nii mitmel viisil, kui on arvul N jagajaid.

Üks viis sellisele lahutuste mitmesusele läheneda, on vaadata kujutust, mis seab struktuurile X vastavusse formaalse summa kõikidest avaldistest U ⊗ V, kus X esitub mingil viisil U ja V kombinatsioonina.

Lineaarsete kombinatsioonide käsitlemiseks sobiv kontekst on vektorruum, ning me defineerime oma operatsiooni lineaarse kujutusena. Hästikäituva lahutuse korral saame vektorruumil koalgebra struktuuri.

Näiteks artiklis

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01396199v3/document

on vaadatud koalgebra struktuure, mis on defineeritud teatud graafide lahutuste kaudu.

Teemaks oleks tutvuda koalgebra mõistega, veenduda, et ülaltoodu on tõepoolest koalgebra, ning vaadata sarnaseid koalgebraid, mis on muude lõplike struktuuride lahutuste kaudu defineeritud.

Dünaamiline hõõrdumine on protsess, mis põhjustab massiivse objekti aeglustumist põrkevabas süsteemis gravitatsiooni tõttu. Standardselt kasutatakse selle arvutamiseks Chandrasekhari valemit isotroopsel juhul, kus tõenäosus osakese lähenemiseks (kiirus) on kirjeldatav normaaljaotusega ning igas suunas võrdne. Samas astrofüüsikas ei pea see paika ning teatud suundades liikumisi on rohkem — kiiruste jaotus on anisotroopne. Seda eriti tumeaine halodes. Eesmärk on uurida, kuidas muutub dünaamiline hõõre võrreldes isotroopse juhuga, kui kiiruste jaotus on kirjeldatav kaheteljelise ellipsoidina.

Antud töö eesmärgiks on kaardistada olemasolevad õppematerjalid mehaanika kursustes, hinnata nende metoodilist sobivust, neid täiendada ja luua uusi interaktiivseid ülesandeid koos näidislahendustega.

Pakun bakalaureuse- ja magistritööde teemadeks diferentsiaalvõrrandite tekkimise ning lahendamisega seotud probleeme, mida kursuses "Diferentsiaalvõrrandid" ei käsitleta või millele kursuse piiratud ajaraamide tõttu saab pöörata vähe tähelepanu. Pean siin silmas näiteks harilike diferentsiaalvõrrandite mitmepunkti rajaülesandeid, kus võrrandile lisatavad tingimused on seotud mitte ainult uuritava funktsiooni väärtustega integreerimislõigu otspunktides, vaid ka väärtustega integreerimislõigu sisepunktides. Väga huvitav oleks ka murrulise tuletise mõistega seotud temaatika, eriti murrulist järku tuletisi sisaldavate diferentsiaalvõrrandite lahendamisega seotud küsimused (võrrandi lahendi olemasolu ja ühesus, lahendi siledus, kõrget järku täpsusega numbriliste meetodite konstrueerimine). Viimasel ajal on see temaatika omandanud suure aktuaalsuse, sest on selgunud, et murrulist järku tuletistega diferentsiaalvõrrandid modelleerivad mitmesuguste reaalse elu protsesside ja materjalide käitumist paremini, kui täisarvulist järku tuletistega diferentsiaalvõrrandid. Murruliste tuletistega seotud valdkonnas on ka meie instituudis saadud olulisi teadustulemusi (vt näiteks Gennadi Vainikko "Which functions are fractionally differentiable?", ZAA 35(2016), lk. 465-487). Tundub, et praegu on hea võimalus jätkata murrulist järku tuletisi sisaldavate diferentsiaalvõrrandite teoreetilist- ja/või numbrilist analüüsi. Olen valmis koos oma noorte kolleegide Kaido Läti ja Mikk Vikerpuuriga juhendama uurimistöid eespool kirjeldatud valdkondades.

Matemaatiline statistika

Sissejuhatus finantsmatemaatikasse kursusel vaadeldakse vanillaoptsioonide (Euroopa ja Ameerika optsioonid) hindamist juhul kui optsiooni alusvara korral ei maksta dividende. Bakalaureusetöös vaadeldakse vanillaoptsioonide hindamist dividendide maksmise korral. Töös on kavas vaadelda erinevaid dividendide maksmise viise (pidevad, diskreetsed dividendid) ning kirjanduses väljapakutud meetodeid optsiooni hinna leidmiseks nendel juhtudel. Kavas on läbi viia numbrilisi eksperimente. 

Vee soolsus ja hapnikutase Läänemere sügavamates kihtides on seotud soolase vee transpordiga/sissevooluga Põhjamerest. Läänemere keskmise veetaseme muutuste kaudu saab registreerida suuremahulisi vee sissevoolu sündmusi (>100 km^3). Need kestavad umbes 40 päeva ja on seotud teatud ilmastikumustrite järgnevusega Põhja-Atlandi ja Põhja-Euroopa regioonis. Mõõdukas soolase vee sissevool leiab aset püsivalt, aga suuremates kogustes soolase vee sissevool leiab aset harva, vaid mõned korrad aastakümnes.

Kui defineerida ilmamustrite jaoks klassid ja uurida mustriklasside jadasid ajas, saab proovida tuvastada, milliste jadade korral on suurema koguse soolase vee sissevool Läänemerre tõenäolisem. Bakalaureusetöö eesmärk on analüüsida mustrite varieerumist ja muutumist ajas ja proovida välja selgitada, kas mingid pikemaajalised muutused võiksid selgitada väga suuremahulise soolase vee sissevoolu sündmuste puudumist viimastel kümnenditel.

Analüütilisest mehaanikast tuntud Hamiltoni dünaamika abil teostatud Markovi ahela Monte Carlo meetodi tundmaõppimine ja rakendamine osakestefüüsika mudelite uurimisel (füüsikalise parameetrite ruumi leidmine).

O(N) sümmeetriaga stohhastiliste skalaarväljade uurimine: välja väärtuste jaotusfunktsiooni ja korrelatsioonifunktsioonide leidmine. (Matemaatika hõlmab Langevini võrrandit. Teemat rakendatakse kosmilise inflatsiooni uurimisel.)

Kolme keha probleemi numbriline uurimine: vaadelda kolme keha probleemi erinevaid algtingimusi ja lõppolekuid, milleni nad viivad; antud algolekute statistilise jaotuse korral anda lõppolekute statistiline jaotus (rakendatakse näiteks paaris mustade aukude tekke uurimisel). Eeldab programmeerimisoskust.

Tüüpiliselt kasutatakse statistiliste ennustusmudelite headuse määramiseks märgendatud testvalimit.
Selliste valimite moodustamise peamine raskus on märgenduste määramine, mis on töömahukas ning sageli ka kallis protsess.
Samas seab testvalimi suurus piirid headusskoori täpsusele.
Nagu tüüpilise statistilise küsitluse korral annab 1000 elemendiline testvalim täpsuse 3% ning täpsususe tõstmiseks 10 korda tuleb testvalimi suurust kasvatada 100 korda.
Sellise suurusega testvalimite moodustamine pole praktikas võimalik ning seetõttu raporteeritakse masinõppe tulemusi 10 kordi täpsemalt kui see tegelikult põhjendatud on.
Teiseks probleemiks märgendamisel on klasside esinemissageduse suur lahkenevus -- tüüpilise fakteraldusülesande korral tuleb üks informatiivne lause 100 või tuhande kohta.
See omakorda välistab võimaluse testvalimi moodustamisest läbi juhuvaliku. 

Antud töö eesmärgiks on süstematiseerida olemasolevaid meetodeid märgendamata testkorpuse kasutamiseks mudelite headuse määramiseks.
Need meetodid lubavad kasutada rohkem kui miljoni elemendilisi testkorpusi märgendades vajadusepõhiselt vaid murdosa andmetes (100-1000 elementi).
Antud töös tuleb vastavaid meetodeid arendada praktikas oluliste arvhinnagute leidmiseks (õigsus, täpsus, saagis).

Tehniliselt vajab antud töö teadmisi suurte arvude seadust kvantifitseerivatest teoreemidest ning simulatsioonide kirjutamis oskust.

Eesmärgiks on uurida, millisel moel saab matemaatiliselt defineerida haiguseriski ja kuidas seda andmete põhjal hinnata saaks. 

Samuti võrdleme erinevaid võimalusi riskihinnangute esitamiseks inimestele (nt geenidoonoritele), seda just teise tüübi diabeedi ja südame-veresoonkonnaghaiguste puhul. 

Bakalaureusetudeng saab kaasa lüüa TÜ Eesti Geenivaramu tagasisideportaali arendamisel. 

Complex phenotypes are products of both genetic and environmental factors. Research over the last decades has uncovered the genetic basis of large numbers of complex human traits through genome-wide phenotype-genotype association studies. However, gene-environment interactions are usually ignored in these studies owing to the statistical challenges and complexities associated with modelling interactions. This project aims to investigate the effect of gene-environment interactions in pathways connecting circulating levels of metabolites to each other and to anthropometric traits (such as height and BMI) and susceptibility to common cardiometabolic and immune-mediated diseases. 

It is well-known that partner choice is not random but show substantial correlations for a wide range of anthropometric and behavioural traits. However, the importance of assortative mating for shaping population structure of quantitative traits and genetic risk of non-communicable diseases is poorly understood. This project aims to quantify the extent of assortative mating and its effects on a wide range of physiological and anthropometric traits and susceptibility to common metabolic, cardiovascular or neurological diseases in the Estonian Biobank. 

Genetic differences between individuals reflect the time to their most recent common ancestor, and is shaped by the demographic history of populations, including historic migrations between different geographic areas and changes to population densities over time, and inference from this information offers insights into the location of ancestors to present-day individuals and the demographic processes that affected them. This project aims to use large, global datasets of mitochondrial and Y chromosome datasets from present-day and past populations in a spatially explicit framework to reconstruct locations of ancestors to present-day individuals and identify migration paths and geographic location of source populations.

Ülemaailmsete kliimamuutuste tagajärjel on puukide arvukus Euroopas viimastel aastakümnetel kasvanud. Ühtlasi on Eestis alates 2005. aastast hüppeliselt tõusnud ka puukborrelioosi juhtude arv. Hiljuti viidi Eestis ja Soomes läbi geneetilised uuringud, mille tulemused näitavad, et ka peremeesorganismi geneetika mängib olulist rolli vastuvõtlikkuses puukborrelioosile.
Selle projekti eesmärk on Eesti meditsiinisüsteemi elektrooniliste terviseandmete ja geenivaramu doonorite geneetika põhjal välja selgitada, kas borrelioosi soodustavad geneetilised riskid ja nakkusjuhtumid ise lisavad patsiendile täiendavaid terviseriske.
Küsimused, millele selle projekti sisu vastab:
- Kas suurenenud puukborrelioosi nakatumise riskiga patsiendid vajavad rohkem antibiootikume? Või mingeid muid ravimeid, leevendamaks haigusest tulenevaid sümptomeid?
- Kas geneetilise eelsoodumusega uurimisrühmas on nakkuse kulg pikem või raskem?
- Kas borrelioos mõjutab immuunsüsteemiga seotud häirete tekkimist (nt allergiad, artriit) ja nende kulgu? Kas borrelioosil on muid püsivaid patsiendi elukvaliteeti mõjutavaid toimeid?

Inimese bioloogia on paljudes aspektides määratud selle bioloogiliste rütmide poolt. Nende mõjude mõistmiseks on Eesti geenivaramu kogunud enam kui 100 000 geenidoonorilt andmeid nende igapäevaste uneaegade kohta, mis on üks suurimaid teadaolevaid sedalaadi andmekogusid maailmas.
Varasemad uuringud on näidanud, et hiliste ööpäevaste rütmidega (e. kronotüüpidega) kaasnevad mitmesugused terviseriskid, nagu näiteks ärevus, depressioon ja suremus.
Selle projekti eesmärk on hinnata varajaste ja hiliste kronotüüpide mõju geenidoonorite tervisele.
Küsimused, millele selle projekti sisu vastab:
- Milliste meditsiiniliste diagnoosidega seostub Eestis varajane või hiline kronotüüp?
- Kas need korrelatsioonid erinevad vanuserühmade lõikes ja kas need seosed on viimase paarikümne aasta jooksul muutunud? Kas esineb erinevusi ka vastavalt soole?
- Kas kronotüüp seostub teiste tunnustega (nt tervena elatud aastad, kehakaal, üldine suremus)?
- Kuidas mõjutab kronotüüpi kellakeeramine?

Tudeng uurib enda bakalaureusetöös, kas mass-spektromeetria metaboloomika andmed prognoosivad tulevikus diagnoositavaid haigusi. Haigus valitakse andmete (missugust haigust on andmestikus piisavalt) ja üliõpilase huvi põhjal. Lisaks metaboloomiks andmetele kasutatakse keskkonna ja elustiili andmeid (linn-maa, haridus suitsetamine).

The proposed thesis will consider working with openly available databases of epidemiological situation in Estonia regarding COVID-19 and particularly Omicron sub-variants.
The task will be first, to extract relevant data from databases and second to fit the outcomes to standard SIR and SEIR models and test their forecasting potential.
Thesis will cover topics of epidemiological modelling, numerical integration of ODEs, and data fitting.
Computations will be done using Python platform.

Praeguseks hetkeks on Eestis erinevate projektide raames genotüpiseeritud enam kui 3000 looma ja see arv suureneb loodetavasti veel selle aasta jooksul. Need andmed võimaldavad erinevatel viisidel uurida Eesti piimaveiste geneetilist mitmekesisust, samuti võimalike minevikus tehtud aretusotsuste jälgi. Töö tarvis on esmalt vajalik omandada vastavad geneetilise statistika meetodid ning seejärel rakendada neid reaalsetel andmetel.

Andmed: 143 lehmvasikal on kogutud rooja ja vereproovid 1x nädalas 4-6 nädala jooksul peale sündi. Roojaproovidest on määratud mikrobioota (16S) ja parasiidid. Vereproovidest on määratud akuutse järgu proteiinide seerum amüloid A ja haptoglobiin (põletikumarkerid) ning immuunoglobuliinide sisaldus; juurdekasvu on mõõdetud 3, 9 ja 15 kuuselt.

HÕIVATUD: 19. Erinevad piimaveistele laktatsioonidünaamika-stabiilsuse-varieeruvuse mõõdikud (baseeruvana igakuistel kontroll-lüpsidel), nende geneetiline determineeritus (hinnatuna sugupuu-andmete alusel) ning seosed lehmade tiinestumise ja karjaspüsimisega.

20. Eesti piimaveistele välismaal hinnatud genoomaretusväärtuste kõrvutamine kodumaiste põlvnemisandmetel hinnatud aretusväärtustega ning lehmade tegeliku piimajõudluse, sigivuse, välimiku ja karjaspüsivusega (ehk kuivõrd usaldusväärsed need geneetilist paremust-halvemust hindavad indeksid on?).

21. Midagi kalageneetika-bioinformaatika vallast – ahvena või säga ülegenoomsete andmete või erinevate kudede geeniekspressiooniandmete analüüs.

COVID-19 piirangud mõjutasid tervishoiuteenuste osutamist märgatavalt. Seetõttu lükati edasi ennetustegevust ja plaanilist ravi ning halvenes üleüldine ravi kättesaadavus. Käesoleva projekti eesmärgiks on kvantifitseerida neid efekte ning uurida, kas ravi kättesaadavust mõjutasid ka sotsiaalsed aspektid. Selleks uuringuks saame kasutada andmebaasi, mis sisaldab lingitud tervise- ning rahvastikuregistri andmeid rohkem kui 300 tuhande Eesti inimese jaoks. 

Ravijärgimus kirjeldab kui hästi patsient järgib ettekirjutatud raviplaani. On näidatud et ravijärgimust mõjutab terve ports faktoreid, hiljutine ülevaate artikkel tõi välja neid üle 700. On selge et kõik need ei saa korraga omada väga suurt efekti. Seetõttu sooviksime modelleerida ravijärgimuse sõltuvust erinevatest faktoritest Eesti digiretsepti andmetel kasutades segamudeleid. Nii saaksime hinnata erinevate faktorite olulisust ning vastata hulgale konkreetseid ravimeid ning diagnoose puudutavatele küsimustele.

Ravijärgimust saab mõõta mitmel viisil. Primaarne ravijärgimus näitab, kas patsient ostab talle väljakirjutatud rohud välja. Sekundaarne ravijärgimus aga uurib kas patsient uuendab oma retsepte kui eelmised rohud peaks otsa saaama. Nii on esimene asjakohasem akuutsete ja teine krooniliste seisundite ravi kirjeldamisel. Siin sooviksime aga aru saada kui hästi nad omavahel seotud on, võrreldes kas primaarse ravijärgimuse põhjal on võimalik ennustada sekundaarset ning vastupidi.

When modern humans moved out of Africa >60,000 years ago they met and mixed with other archaic humans such as Neandertals. As a result of that admixture present-day non-Africans carry ~2% of Neandertal DNA in their genomes. The putative functional effects of this archaic DNA in people today have been tested in large cohorts with available disease and non-disease information by comparing individuals with and without particular Neandertal variants. However, most of the current research has been conducted using European cohorts, limiting the insights to Neandertal variants that are present in this population.

This project aims at expanding this research by exploring Neandertal DNA associations in Asian cohorts and testing them for their pleiotropic effects, i.e. Neandertal variants that show associations with multiple, genetically unrelated traits. The results of this analysis will be assessed for their significance by comparing them to those of random non-archaic variants. The project will incorporate summary statistics from genome-wide association analyses and combine it with genomic data to approach this research question. The outcome of the project will help to further understand the phenotypic legacy of Neandertal DNA in their carriers today.

Kindlustus- ja finantsmatemaatika

Matemaatika ja statistika

Pakun bakalaureuse- ja magistritööde teemadeks diferentsiaalvõrrandite tekkimise ning lahendamisega seotud probleeme, mida kursuses "Diferentsiaalvõrrandid" ei käsitleta või millele kursuse piiratud ajaraamide tõttu saab pöörata vähe tähelepanu. Pean siin silmas näiteks harilike diferentsiaalvõrrandite mitmepunkti rajaülesandeid, kus võrrandile lisatavad tingimused on seotud mitte ainult uuritava funktsiooni väärtustega integreerimislõigu otspunktides, vaid ka väärtustega integreerimislõigu sisepunktides. Väga huvitav oleks ka murrulise tuletise mõistega seotud temaatika, eriti murrulist järku tuletisi sisaldavate diferentsiaalvõrrandite lahendamisega seotud küsimused (võrrandi lahendi olemasolu ja ühesus, lahendi siledus, kõrget järku täpsusega numbriliste meetodite konstrueerimine). Viimasel ajal on see temaatika omandanud suure aktuaalsuse, sest on selgunud, et murrulist järku tuletistega diferentsiaalvõrrandid modelleerivad mitmesuguste reaalse elu protsesside ja materjalide käitumist paremini, kui täisarvulist järku tuletistega diferentsiaalvõrrandid. Murruliste tuletistega seotud valdkonnas on ka meie instituudis saadud olulisi teadustulemusi (vt näiteks Gennadi Vainikko "Which functions are fractionally differentiable?", ZAA 35(2016), lk. 465-487). Tundub, et praegu on hea võimalus jätkata murrulist järku tuletisi sisaldavate diferentsiaalvõrrandite teoreetilist- ja/või numbrilist analüüsi. Olen valmis koos oma noorte kolleegide Kaido Läti ja Mikk Vikerpuuriga juhendama uurimistöid eespool kirjeldatud valdkondades.

Matemaatika- ja informaatikaõpetaja

1. Distantsõpe  matemaatikas (õpilaste ja õpetajate kogemused, erinevad teemad), juhendajad Kerli Orav-Puurand, Tiina Kraav, Sirje Pihlap, Hannes Jukk

2. HÕIVATUD: Probleemülesannete lahendamine III kooliastmes, juhendajad Tiina Kraav, Kerli Orav-Puurand

3. Probleemülesannete lahendamine gümnaasiumis, juhendajad Tiina Kraav, Kerli Orav-Puurand

4. Õppematerjali koostamine, juhendaja Sirje Pihlap

5. Info- ja kommunikatsioonitehnoloogia kasutamine matemaatikaõppes (erinevad teemad), juhendaja Sirje Pihlap

HÕIVATUD: 6. Riigieksami kursusele kontrolltestide loomine, juhendajad Tiina Kraav, Kerli Orav-Puurand

7. Automaatkontrollitavate ja -tagasisidestatud ülesannete koostamine III ja IV kooliastmele kasutades Moodle'i STACK-ülesandetüüpi, juhendaja Evely Kirsiaed

8. Gümnaasiumile Pythoni mängude programmeerimise moodul PyGame’iga (Tauno Palts)

9. Ülikooli kursuse “Programmeerimine” testide uuendamine (Tauno Palts ja Reimo Palm)

10. Andmebaaside kursuse projektide analüüs (Piret Luik)

11. Andmebaaside kursusele murelahendajate koostamine ja nende kasutamise analüüs (Piret Luik)

12. Andmebaaside kursusele videomaterjalide ja ülesannete koostamine (Piret Luik)

13. Informaatika õpetamine I-II kooliastmes – teemad, vahendid (Piret Luik, kommentaar: vajab teadmisi haridussüsteemist ja didaktikast)

14. Digiohutuse õpetamine koolis (Piret Luik kommentaar: vajab teadmisi haridussüsteemist ja didaktikast)

15. eTwinning informaatikas (Piret Luik kommentaar: vajab teadmisi haridussüsteemist, didaktikast ja eTwinningust)

16. Programmeerimisülesannete ja murelahendajate koostamine kursuse “Introduction to Programming II” jaoks (Reelika Suviste)

17. Informaatika õpetamine II-III kooliastmes (õppematerjalide loomine, vahendite kasutamine – täpsem teema sõltub üliõpilase kogemusest ja huvist) (Reelika Suviste)

18. Ettevõtlusõppe rakendamise võimalused informaatikaõppes – III ja IV kooliaste (Reelika Suviste)

19. Tartu Ülikooli kursuse “Programmeerimise alused II” uus ülesannete kogu (Heidi Meier)

20. Interaktiivse õpiku loomine HTML/CSS algajatele (Lidia Feklistova)

21. Graafikalaua (ja teiste vahendite) kasutamine õppetöös (Marili Rõõm)

22. Programeerimise MOOCi katkestajad (Marili Rõõm)

23. Andmebaaside kursuselt väljalangemine (Marili Rõõm)

24. Õppijate tulemuste ennustamise tööriist (Reimo Palm)

25. Harjutustestide tulemuste analüsaator (Reimo Palm)

26. Programmeerimisülesannete andmebaas (Reimo Palm)

27. Tekstülesannete lahendamise keskkond. Prototüüp (Rein Prank)

28. Arvutialgebra kasutamise viiside väljatöötamine hulkliikmete tegurdamise ülesannete jaoks põhikoolis (Rein Prank)

#õppimine
LT lõpuaktus 2022

Magistriõppe lõpuaktus 2023

#õppimine
LT lõpetamine 2022

Bakalaureuseõppe lõpuaktus 2023

#ettevõtlus #õppimine
Delta karjääripäev 2019

Delta karjääripäev 2023