Alvin Lepik kaitses doktoritööd „On Morita equivalence of semigroups“

13. juunil kell 15.30 kaitses Alvin Lepik matemaatika erialal doktoritööd „On Morita equivalence of semigroups“ („Poolrühmade Morita ekvivalentsusest“).

Juhendaja:
prof. Valdis Laan, Tartu Ülikool

Oponendid:
prof. Mark Verus Lawson, Heriot-Watt University (Suurbritannia)
prof. Benjamin Steinberg, City College of New York (Ameerika Ühendriigid)

Kokkuvõte
Kaks isomorfset poolrühma on eristamatud. Siiski, kõikide poolrühmade kirjeldamine isomorfismi täpsuseni pole mõistlik ettevõtmine - neid on liiga palju. Öeldakse, et kaks poolrühma on Morita ekvivalentsed, kui kõikide püsivate parempoolsete polügoonide kategooriad üle nende poolrühmade on ekvivalentsed. Selline ekvivalentsiseos on oluliselt nõrgem isomorfismiseosest. Käesolevas töös uurime poolrühmade Morita ekvivalentsust kasutades selleks teiste autorite poolt uuritud algebralisi konstruktsioone kirjeldamaks Morita ekvivalentseid poolrühmi mitmetel poolrühmade alamklassidel. Meie eesmärgid on kirjeldada mõnede hästi tuntud poolrühmade, nagu rühmad või monoidid, tugevaid Morita ekvivalentsiklasse ning leida Morita invariante - need on parajasti kõikide ühest ja samast ekvivalentsiklassist pärit poolrühmade ühised omadused. Täpsemalt, näitame muu hulgas ära, et faktoriseeruv poolrühm on Morita ekvivalentne monoidiga parajasti siis, kui ta on selle monoidi laiend. Järeldame, et rühma laiendid on parajasti Rees'i maatrikspoolrühmad üle selle rühma ning et täiesti lihtsus on faktoriseeruvate poolrühmade Morita invariant. Kaks faktoriseeruvat poolrühma on Morita ekvivalentsed parajasti siis, kui nende vahel leidub unitaarne sürjektiivne Morita kontekst. Kahes peatükis uurime mõningaid Morita kontekstiga määratud morfisme ning võresid. Kirjeldame ära püsivate poolrühmade Morita ekvivalentsuse ning näitame, et Morita ekvivalentsetel poolrühmadel, mis mõlemad sisaldavad ühiseid nõrkasid lokaalseid ühikelemente, on isomorfsed kooskõlaliste seoste võred. Viimane peatükk on pühendatud poolrühmade perfektsuse uurimisele. Üldistame mitmeid perfektsete monoidide kirjeldused faktoriseeruvate poolrühmade juhule ning lisame ka uue kirjelduse. Saadud tulemuste põhjal järeldame, et kõik nilpotentsed ja täiesti (0-)lihtsad poolrühmad on perfektsed ning et perfektsus on Morita invariant faktoriseeruvate poolrühmade korral.